حساب التناسب والضرب التبادلي

كيف تحسب التناسب بالقاعدة الثلاثية خطوة بخطوة

لنأخذ مثالًا: 3 دفاتر ثمنها 7.50 درهم، فكم ثمن 5 دفاتر؟ نرتّب القيم في جدول، سطر لكل حالة: 3 و7.50 في السطر الأول، و5 وx في الثاني. في جدول التناسب، حاصلا الضرب التبادلي متساويان: 3 × x = 7.50 × 5. نعزل x بالقسمة على العدد المرافق له: x = 7.50 × 5 ÷ 3 = 37.50 ÷ 3 = 12.50 درهم. ويمكن أيضًا المرور بالوحدة: ثمن الدفتر الواحد 7.50 ÷ 3 = 2.50 درهم، إذن ثمن 5 دفاتر 5 × 2.50 = 12.50 درهم. الطريقتان تعطيان النتيجة نفسها، لكن الضرب التبادلي يمتاز بأنه يصلح أيًا كان موضع المجهول.

كيف تعرف أن الحالة حالة تناسب؟

لا تنطبق القاعدة الثلاثية إلا إذا كانت الكميتان متناسبتين، أي إذا انتقلنا من إحداهما إلى الأخرى بالضرب دائمًا في العدد نفسه، ويسمى معامل التناسب. هذا ينطبق على ثمن سلعة تُباع بالكيلو، وعلى مقادير وصفة حسب عدد الضيوف، وعلى تحويل العملات بسعر صرف ثابت، وعلى المسافة المقطوعة بسرعة ثابتة. ولا ينطبق عندما يوجد جزء ثابت: إذا كانت أجرة فتح العدّاد 4 دراهم ثم 1.50 درهم لكل كيلومتر، فرحلة 10 كم تكلّف 19 درهمًا، لكن رحلة 20 كم تكلّف 34 درهمًا وليس 38. والأمر نفسه بالنسبة للعمر والطول، أو للأسعار التي تنخفض مع الكمية.

التناسب العكسي: حين تزيد إحداهما تنقص الأخرى

بعض الكميات تتغير في اتجاهين متعاكسين: إذا أنهى 6 عمال ورشة في 10 أيام، فإن 4 عمال سيحتاجون وقتًا أطول. الثابت هنا هو حاصل ضرب قيمتَي السطر الواحد: 6 × 10 = 60 يوم عمل. مع 4 عمال نحتاج إذن 60 ÷ 4 = 15 يومًا. مثال آخر: رحلة تستغرق ساعتين بسرعة 90 كم/س؛ وبسرعة 120 كم/س تستغرق 90 × 2 ÷ 120 = 1.5 ساعة، أي ساعة ونصف. في الحاسبة، اختر «عكسي»: تعرض الخطوات عندها تساوي حاصل ضرب كل سطر بدلًا من الضرب التبادلي. يفترض هذا النموذج أن كل شيء آخر ثابت، كأن يعمل كل عامل بالوتيرة نفسها.